Классификация и основные свойства функций. Для облегчения поставленной задачи построим в первую очередь график функции. Асимптота графика функции. Большинство этапов исследования в MathCAD нам пришлось проводить, используя классические формулы и определения, что благоприятно сказывается на. Функция в MathCad должна иметь имя и параметры, перечисленные в скобках. Если нужно построить одновременно графики нескольких функций. Изобразите наклонные асимптоты на графике. Найдите нули производной, решив уравнение F’(x) = 0. Читать работу online по теме: ОСНОВЫ работы в MathCad. Анализ построенного графика функции и ее асимптот, представленного на рис. 6.12, показывает, что расстояния текущей точки кривой до. График может содержать несколько выражений по оси ординат в Можно построить до 16 функций на оси ординат в зависимости от одного. В состав системы MathCAD входят несколько интегрированных и неравенств, нахождение асимптот, а с подобными операциями MathCAD Благодаря графическим возможностям системы можно построить график функции любой По графику функции видно, что он несимметричен относительно оси. Случайные заметки: Обзор свободного математического ПОИзвестные пакеты - это гиганты всё- в- одном. Когда мы говорим о математическом ПО, на ум приходят такие гиганты, как Maple, Mathematica, Mat. LAB. Конечно, Mathematica известна прежде всего как система для символьных вычислений, а Matlab - для численных, но одновременно в Mathematica есть мощные алгоритмы для вычислений с плавающей точкой, а в Matlab - пакет для символьных вычислений. Причём эти второстепенные функции в программах по сравнению с программами, для этого предназначенными, выглядят убого и смешно. А небезызвестный Math. CAD пытается включить в себя всё, при этом всё реализовано так себе. Причина проста: нельзя объять необъятное. Свободные программы - делают одно дело хорошо. В противоположность этому, большинство свободных программ следует философии UNIX, гласящей: программа должна делать одно дело, но делать его хорошо. Свободного математического ПО очень много, при этом б. Например, есть программы, которые только и умеют, что строить сетку для метода конечных разностей. Или программа, которая предназначена для вычисления цифр числа Пи. Или программа, которая умеет только строить графики, но зато очень хорошо. Однако, есть и программы, в той или иной степени являющиеся аналогами известных пакетов. Я расскажу о трёх. История проекта. Начну я с истории этого проекта. Сначала я напомню, что компьютеры - это, вообще- то, Электронные Вычислительные Машины, они создавались для вычислений над числами. Однако уже в конце 5. В начале 6. 0- х начали появляться первые системы компьютерной алгебры. И, конечно, такая система нужна была одному мирному американскому ведомству (департаменту энергетики, это практически подразделение Пентагона). Был объявлен тендер, и его выиграл проект под названием Macsyma (пишется через CS). В течение многих лет DOE Macsyma развивалась как коммерческий проект, финансируемый правительством. В 1. 98. 2- м году Уильям Шелтер создал форк Macsyma, называемый Maxima. В начале 9. 0- х распался СССР, кончилась холодная война, и косвенным следствием этого стало практически полное прекращение финансирования DOE Macsyma. К концу 9. 0- х проект практически загнулся. Исходники Macsyma по кусочкам распродали, и они оказались в Maple и Mathematica. В 1. 99. 8- м Уильям Шелтер добился от DOE разрешения на публикацию исходных текстов Maxima под лицензией GPL. Maxima стала свободной программой. В 2. 00. 1- м Шелтер скончался, но к этому моменту над Maxima работало уже довольно много людей, и они подхватили проект. Интерфейс: командная строка или wx. Maxima. Maxima имеет традиционный для UNIX интерфейс командной строки, однако также умеет слушать сетевой порт, работая как сервер. Этот факт используют различные оболочки (фронтенды), предоставляющие графический интерфейс. Наиболее распространены Te. Xmacs и wx. Maxima. Te. Xmacs - это научный текстовый редактор, в котором можно в документ вставить сессию Maxima. При этом он похож одновременно на языки Mathematica и Maple, так как эти программы позаимствовали многие идеи и часть кода из Macsyma. Чтобы избежать долгого и нудного перечисления возможностей, я приведу пример решения типичных задач с первого курса. Проверим, не является ли она чётной или нечётной: Как видим, функция не является ни чётной, ни нечётной. Найдём пределы функции на плюс- минус бесконечности: maxima> > limit(f(x),x,- inf); maxima> > limit(f(x),x,inf); Итак, на плюс бесконечности функция уходит в бесконечность. Нет ли у неё наклонной асимптоты? Наклонная асимптота есть - y=kx+b, причём k=2. Найдём b: maxima> > limit(f(x)- 2*x, x,inf); Наконец, построим график: maxima> > plot. Можно показать, что этот интеграл в элементарных функциях и не берётся. Однако Maxima умеет брать некоторые из таких интегралов, используя специальные функции: maxima> > part: risch(x/(exp(2*x)+1), x); (здесь я присваиваю результат интегрирования переменной part). Таким образом, интеграл f(x) будет равенmaxima> > ir: - 2*part + log(x) + x^2 + 2*x; Что- то ужасное. Раскроем скобки: Дифференциальные уравнения. Или вот пример более сложных вычислений. Пусть надо решить дифференциальное уравнение: maxima> > eq: 'diff(y,x) + x*y = 1- x^2; Знак апострофа здесь используется, чтобы указать, что не надо сейчас вычислять производную, а сохранить обозначение. Вот и решение. После раскрытия скобок получим вот что: maxima> > expand(solution); По Maxima есть некоторое количество русскоязычных руководств, которые можно найти в интернете. На мой взгляд, самое удачное введение с обзором возможностей содержится в цикле статей Тихона Тарнавского в журнале Linux. Format. Сейчас эти статьи выложены в открытый доступ, в том числе на русском сайте Maxima. Документация по продвинутым возможностям maxima существует, к сожалению, только на английском языке. Официальная документация составляет 7. Scilab совместим с Mat. LAB- ом. Наиболее известный пакет для численных расчётов - это Mat. LAB. Scilab создавался как конкурент matlab- а, более скромный по ценовой политике. Однако коммерчески проект себя не оправдал, и исходные коды были открыты под лицензией, похожей на GNU GPL. Язык scilab сделан по возможности совместимым с матлабом, так что большинство ваших наработок из matlab заработают в scilab. Только вот, как известно, основная мощь matlab- a сосредоточена в его тулбоксах - отдельно поставляемых модулях. Модули для scilab- а тоже есть, однако их сильно меньше. Octave - это GPL- аналог Matlab. Позже появился проект GNU Octave, нацеленный на создание аналога matlab- a, распространяемого по GNU GPL без всяких заморочек. Язык тоже практически совместим с матлабом, но здесь нет аналога Simulink - средства моделирования и симулирования динамических систем. Зато Octave имеет чисто консольный интерфейс (конечно, графические фронтенды тоже есть, самый развитый - Qt. Octave), что позволяет использовать его в скриптах, для автоматизации расчётов, и упрощает встраивание в сложные программные комплексы. Для Octave написаны десятки пакетов расширений. По Scilab есть статьи на русском языке, кроме того, не так давно в издательстве Alt. Linux вышла книга `Scilab: Решение инженерных и математических задач'. Книгу можно приобрести в интернет- магазине, кроме того, её электронная версия свободно доступна на сайте Alt. Linux. Обзор. Формально, средства обработки данных относятся к программам для численных расчётов, ибо всё что они делают - это вычисления над числами. Однако, как известно, специализированный инструмент всегда лучше универсального. Под словами обработка данных скрывается довольно много различных видов деятельности: статистический анализ, статистическое моделирование, выборка только нужных данных, преобразование данных, построение различных графиков и гистограмм. Программы для обработки данных можно разделить по типичному размеру выборки, для которого они предназначены. Для небольших выборок подойдёт, например, Statistica. Для средних по размеру выборок хорошо подходит GNU R (она хранит все данные в оперативной памяти, так что на типичном PC получим ограничение в 1- 2- 4 гигабайта). Для больших и очень больших объёмов данных (от сотен гигабайт до сотен терабайт) предназначены разработанные в CERN свободные системы PAW и ROOT. GNU R - это интерпретируемый язык программироваммирования, предназначенный для статистического анализа и моделирования. R - это свободная реализация давно существующего языка S. Язык этот весьма эклектичен, он местами похож на C, местами - на Python, местами - на Haskell. Для GNU R существует почти полторы тысячи пакетов расширений (написанных на самом R, на C или Fortran), собранных в репозитории CRAN (Comprehensive R Archive Network). Типы данных - числа, строки, факторы, векторы, списки и таблицы данных. Основные типы данных в языке - это числа, строки, факторы, векторы, списки и таблицы данных (data frames). Фактор - это данные, которые могут принимать одно из нескольких значений (пол; сорт дерева; логический тип и др). Векторы являются аналогами массивов - это набор из нескольких значений одного типа, размер вектора меняться не может. Тут же надо заметить, что в R нету скаляров; например, число - это, с точки зрения R, вектор из одного элемента. Списки - это обобщение векторов, они могут содержать объекты разных типов, и длина их может меняться. Кроме того, отдельным элементам списка можно присвоить имена, и обращаться к элементам не по номерам, а по именам. Пример: (присваивание в R обозначается обычно знаком . Для обращения к элементам списка по номеру используются двойные квадратные скобки: Назначим имена элементам списка: R> > names(lst) < - c('first','second','third')(функция c создаёт векторы). Теперь к элементам списка можно обращаться по именам: Таблица данных (фрейм данных) в R - это список, состоящий из векторов. Создаются таблицы данных чаще всего загрузкой из внешнего файла. Пример. Скажем, в файле airquality. Пропущенные (неизвестные) данные обозначены как NA. Загрузим эти данные в R: R> > air < - read. TRUE)Здесь мы указываем имя файла, разделитель (пробел), а также указываем, что в первой строке записаны имена полей. К полям таблицы мы можем теперь обращаться как к элементам списка - например, air$Ozone. Посмотрим, что R знает о структуре наших данных: 'data. Осталось только среднеквадратичное отклонение: Ozone Solar. R Wind Temp Month Day. NA NA 3. 5. 23. Как видим, R считает среднеквадратичное отклонение для полей Ozone и Solar. R неизвестным - из- за того, что в этих полях есть пропущенные данные. Мы можем явно указать, что на пропущенные данные не надо обращать внимание: Ozone Solar. R Wind Temp Month Day. Построим простейшую линейную модель - исследуем зависимость концентрации озона от температуры: R> > ot < - lm(Ozone ~ Temp, data=air)Call: lm(formula = Ozone ~ Temp, data = air)Coefficients: (Intercept) Temp- 1. То есть, если приближать зависимость линейной Ozone = k*Temp + b, то k=2. По GNU R есть довольно много материалов на русском, в частности, методические рекомендации по лабораторным работам для вузов. Как исследовать функцию и построить её график? Похоже, я начинаю понимать одухотворённо- проникновенный лик вождя мирового пролетариата, автора собрания сочинений в 5. Нескорый путь начался элементарными сведениями о функциях и графиках, и вот сейчас работа над трудоемкой темой заканчивается закономерным результатом – статьёй о полном исследовании функции. Долгожданное задание формулируется следующим образом. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и на основании результатов исследования построить её график Или короче: исследовать функцию и построить график. Зачем исследовать? В простых случаях нас не затруднит разобраться с элементарными функциями, начертить график, полученный с помощью элементарных геометрических преобразований и т. Однако свойства и графические изображения более сложных функций далеко не очевидны, именно поэтому и необходимо целое исследование. Основные этапы решения сведены в справочном материале Схема исследования функции, это ваш путеводитель по разделу. Чайникам требуется пошаговое объяснение темы, некоторые читатели не знают с чего начать и как организовать исследование, а продвинутым студентам, возможно, будут интересны лишь некоторые моменты. Но кем бы вы ни были, уважаемый посетитель, предложенный конспект с указателями на различные уроки в кратчайший срок сориентирует и направит Вас в интересующем направлении. ПРАВИЛЬНЫЙ И АККУРАТНЫЙ ЧЕРТЁЖ – это основной результат решения! Простейшая версия задачи состоит всего из 2- 3 этапов и формулируется примерно так: «исследовать функцию с помощью производной и построить график» либо «исследовать функцию с помощью 1- й и 2- й производной, построить график». Естественно – если в вашей методичке подробно разобран другой алгоритм или ваш преподаватель строго требует придерживаться его лекций, то придётся внести некоторые коррективы в решение. Не сложнее, чем заменить вилку бензопилой ложкой. Итак, вооружившись общей схемой исследования, где рассмотрена структура и техника выполнения задачи, переходим к изучению стратегии и тактики действий. Успешно прошедшим курс обучения откроется тайна числа 6. С нетерпением скрипим колёсиком мыши =)Пример 1. Исследовать функцию и по результатам исследования построить график. Решение: 1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой: . Это очень хорошо, отпадают вертикальные асимптоты. Проверим функцию на чётность/нечётность: После чего следует шаблонная отписка: , значит, данная функция не является чётной или нечётной. Очевидно, что функция непериодическая. Асимптоты, поведение функции на бесконечности. Так как функция непрерывна на , то вертикальные асимптоты отсутствуют. Нет и наклонных асимптот. Примечание: напоминаю, что более высокого порядка роста, чем , поэтому итоговый предел равен именно «плюс бесконечности». Выясним, как ведёт себя функция на бесконечности: Иными словами, если идём вправо, то график уходит бесконечно далеко вверх, если влево – бесконечно далеко вниз. Да, здесь тоже два предела под единой записью. Если у вас возникли трудности с расшифровкой знаков , пожалуйста, посетите урок о бесконечно малых функциях. Таким образом, функция не ограничена сверху и не ограничена снизу. Учитывая, что у нас нет точек разрыва, становится понятна и область значений функции: – тоже любое действительное число. ПОЛЕЗНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ ПРИЁМКаждый этап задания приносит новую информацию о графике функции, поэтому в ходе решения удобно использовать своеобразный МАКЕТ. Изобразим на черновике декартову систему координат. Что уже точно известно? Во- первых, у графика нет асимптот, следовательно, прямые чертить не нужно. Во- вторых, мы знаем, как функция ведёт себя на бесконечности. Согласно проведённому анализу, нарисуем первое приближение: Заметьте, что в силу непрерывности функции на и того факта, что , график должен, по меньшей мере, один раз пересечь ось . А может быть точек пересечения несколько? Нули функции и интервалы знакопостоянства. Сначала найдём точку пересечения графика с осью ординат. Необходимо вычислить значение функции при : Полтора над уровнем моря. Чтобы найти точки пересечения с осью (нули функции) требуется решить уравнение , и тут нас поджидает неприятный сюрприз: В конце притаился свободный член, который существенно затрудняет задачу. Такое уравнение имеет, как минимум, один действительный корень, и чаще всего этот корень иррационален. В худшей же сказке нас поджидают три поросёнка. Уравнение разрешимо с помощью так называемых формул Кардано, но порча бумаги сопоставима чуть ли не со всем исследованием. В этой связи разумнее устно либо на черновике попытаться подобрать хотя бы один целый корень. Проверим, не являются ли оными числа : – не подходит; – есть! Здесь повезло. В случае неудачи можно протестировать ещё и , а если и эти числа не подошли, то шансов на выгодное решение уравнения, боюсь, очень мало. Тогда пункт исследования лучше полностью пропустить – авось станет что- нибудь понятнее на завершающем шаге, когда будут пробиваться дополнительные точки. И если таки корень (корни) явно «нехорошие», то об интервалах знакопостоянства лучше вообще скромно умолчать да поаккуратнее выполнить чертёж. Однако у нас есть красивый корень , поэтому делим многочлен на без остатка: Алгоритм деления многочлена на многочлен детально разобран в первом примере урока Сложные пределы. В итоге левая часть исходного уравнения раскладывается в произведение: А теперь немного о здоровом образе жизни. Я, конечно же, понимаю, что квадратные уравнения нужно решать каждый день, но сегодня сделаем исключение: уравнение имеет два действительных корня . На числовой прямой отложим найденные значения и методом интервалов определим знаки функции: Таким образом, на интервалах график расположен ниже оси абсцисс , а на интервалах – выше данной оси . Полученные выводы позволяют детализировать наш макет, и второе приближение графика выглядит следующим образом: Обратите внимание, что на интервале функция обязательно должна иметь хотя бы один максимум, а на интервале – хотя бы один минимум. Но сколько раз, где и когда будет «петлять» график, мы пока не знаем. Отложим их на числовой прямой и определим знаки производной: Следовательно, функция возрастает на и убывает на . В точке функция достигает максимума: . В точке функция достигает минимума: . Установленные факты загоняют наш шаблон в довольно жёсткие рамки: Что и говорить, дифференциальное исчисление – штука мощная. Давайте окончательно разберёмся с формой графика: 5) Выпуклость, вогнутость и точки перегиба. Найдём критические точки второй производной: Определим знаки : График функции является выпуклым на и вогнутым на . Вычислим ординату точки перегиба: . Практически всё прояснилось. Осталось найти дополнительные точки, которые помогут точнее построить график и выполнить самопроверку. В данном случае их мало, но пренебрегать не будем: Выполним чертёж: Зелёным цветом отмечена точка перегиба, крестиками – дополнительные точки. График кубической функции симметричен относительно своей точки перегиба, которая всегда расположена строго посередине между максимумом и минимумом. По ходу выполнения задания я привёл три гипотетических промежуточных чертежа. На практике же достаточно нарисовать систему координат, отмечать найденные точки и после каждого пункта исследования мысленно прикидывать, как может выглядеть график функции. Студентам с хорошим уровнем подготовки не составит труда провести такой анализ исключительно в уме без привлечения черновика. Для самостоятельного решения: Пример 2. Исследовать функцию и построить график. Тут всё быстрее и веселее, примерный образец чистового оформления в конце урока. Немало секретов раскрывает исследование дробно- рациональных функций: Пример 3. Методами дифференциального исчисления исследовать функцию и на основании результатов исследования построить её график. Решение: первый этап исследования не отличается чем- то примечательным, за исключением дырки в области определения: 1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , область определения: ., значит, данная функция не является четной или нечетной. Очевидно, что функция непериодическая. График функции представляет собой две непрерывные ветви, расположенные в левой и правой полуплоскости – это, пожалуй, самый важный вывод 1- го пункта. Асимптоты, поведение функции на бесконечности. С помощью односторонних пределов исследуем поведение функции вблизи подозрительной точки, где явно должна быть вертикальная асимптота: Действительно, функции терпит бесконечный разрыв в точке , а прямая (ось ) является вертикальной асимптотой графика . Проверим, существуют ли наклонные асимптоты: Да, прямая является наклонной асимптотой графика , если . Пределы анализировать смысла не имеет, поскольку и так понятно, что функция в обнимку со своей наклонной асимптотой не ограничена сверху и не ограничена снизу. Второй пункт исследования принёс много важной информации о функции. Выполним черновой набросок: Вывод . На «минус бесконечности» график функции однозначно расположен ниже оси абсцисс, а на «плюс бесконечности» – выше данной оси. Кроме того, односторонние пределы сообщили нам, что и слева и справа от точки функция тоже больше нуля. Обратите внимание, что в левой полуплоскости график, по меньшей мере, один раз обязан пересечь ось абсцисс. В правой полуплоскости нулей функции может и не быть. Вывод . У правой ветви графика непременно должен быть хотя бы один минимум. Слева экстремумы не гарантированы. Вывод . О выпуклости/вогнутости на бесконечностях мы пока ничего сказать не можем, поскольку линия может прижиматься к своей асимптоте как сверху, так и снизу. Вообще говоря, есть аналитический способ выяснить это прямо сейчас, но форма графика «даром» прояснится на более поздних этапах. Зачем столько слов? Чтобы контролировать последующие пункты исследования и не допустить ошибок! Дальнейшие выкладки не должны противоречить сделанным выводам. Точки пересечения графика с координатными осями, интервалы знакопостоянства функции. График функции не пересекает ось . С осью Методом интервалов определим знаки : , если ; , если .
0 Comments
Leave a Reply. |
Details
AuthorWrite something about yourself. No need to be fancy, just an overview. ArchivesCategories |